Como se obtém a constante de decaimento \(k\) a partir da meia-vida \(t_{1/2}\) na função \(M(t)=M_0 e^{-kt}\) e como calcular a fração restante em um tempo \(t\)?

k = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}, \; M(t)=M_0 2^{-t/t_{1/2}}.

Explicação:
Da definição de meia-vida vem \(e^{-k t_{1/2}}=\tfrac12\), tomando ln obtemos \(k=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}\). Substituindo em \(e^{-kt}\) obtemos \(e^{-kt}=2^{-t/t_{1/2}}\), que é a fração da quantidade inicial após tempo \(t\).

Exemplo:
Meia-vida \(t_{1/2}=8\) horas, \(M_0=80\) mg.
\(k=\dfrac{\ln 2}{8}\).
Quantidade após 2 h: \(M(2)=80e^{-k\cdot2}=80\cdot 2^{-2/8}=80\cdot 2^{-1/4}\).
Valor aproximado: \(2^{1/4}\approx1{,}1892\), então \(M(2)\approx \dfrac{80}{1{,}1892}\approx 67{,}3\) mg.