Se h'(x)>0 para todo x em \(\mathbb{R}\), quantas raízes reais a função h pode ter?

No máximo uma; existe se h assumir sinais opostos em dois pontos.

Explicação:
Se \(h'(x)>0\) em \(\mathbb{R}\), então \(h\) é estritamente crescente, logo injetora, portanto pode ter no máximo uma raiz. A existência de uma raiz é garantida pelo Teorema do Valor Intermediário se existirem \(a,b\) com \(h(a)\cdot h(b)<0\), pois então há \(c\in(a,b)\) com \(h(c)=0\).

Exemplo:
\(h(x)=x^3+x+1\)
\(h'(x)=3x^2+1>0\) para todo \(x\), logo \(h\) é estritamente crescente
\(h(-1)=-1<0\) e \(h(0)=1>0\), portanto existe \(c\in(-1,0)\) tal que \(h(c)=0\), e essa raiz é única.