Qual é a derivada de \(a^x\) e de \(\log_a(x)\) para \(a>0,\ a\neq1\)?

\(\dfrac{d}{dx}a^x = a^x\ln a,\qquad \dfrac{d}{dx}\log_a(x)=\dfrac{1}{x\ln a}.\)

Explicação completa:
Para \(a^x\) escreve-se \(a^x=e^{x\ln a}\) e aplica-se a regra da cadeia, assim a derivada é \(e^{x\ln a}\cdot\ln a=a^x\ln a\).
Para \(\log_a(x)\) usa-se a mudança de base \(\log_a(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}\) e deriva-se \(\ln x\), obtendo \(\dfrac{1}{x\ln a}\).

exemplo:
Se \(f(x)=5^x-\log_2(x)\), então
\(f'(x)=5^x\ln5-\dfrac{1}{x\ln2}\).
Derivando novamente, \(f''(x)=5^x\ln^2 5+\dfrac{1}{x^2\ln2}\).