Qual relação entre |u|+|v| e |u+v| permite concluir que, se |u|+|v| ≤ k então |u+v| ≤ k?

\(|u+v|\le|u|+|v|\), portanto se \( |u|+|v|\le k\) então \( |u+v|\le k\).

\( |u+v|\le|u|+|v|\) é a desigualdade triangular, assim qualquer limite superior sobre \( |u|+|v|\) vale também para \( |u+v|\).

Exemplo:
Considere \( |x-2|+|x+1|\le 4\). Aplicando a relação, obtém-se \( |(x-2)+(x+1)|=|2x-1|\le 4\).
Resolvendo \( -4\le 2x-1\le 4\) vem \( -\tfrac{3}{2}\le x\le \tfrac{5}{2}\).
Checando por intervalos confirma-se que todo \(x\) nesse intervalo satisfaz a inequação inicial.