Como obter a expressão de uma função quadrática a partir de suas raízes e de um ponto, e como escrever uma função valor absoluto conhecendo sua raiz?

Quadrática: formar \(a(x-x_1)(x-x_2)\) e determinar \(a\) usando o ponto dado.
Valor absoluto: usar \(|x-r|\) ou sua equivalente \(|-(x-r)|\) quando a raiz é \(r\).

Explicação completa:
Para uma função quadrática com raízes \(x_1,x_2\), a forma fatorada é \(g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\). Substitua as coordenadas de um ponto conhecido \((x_0,y_0)\) para achar \(a\) via \(y_0=a(x_0-x_1)(x_0-x_2)\), depois expanda se necessário.
Para uma função valor absoluto com raiz \(r\), a expressão padrão é \(f(x)=|x-r|\). Como \(|x-r|=|-(x-r)|=|r-x|\), pode-se usar a forma que melhor represente o deslocamento.

Exemplo:
Quadrática com raízes \(1\) e \(4\) e passando por \((0,-4)\):
\(g(x)=a(x-1)(x-4)=a(x^2-5x+4)\)
Usando \((0,-4)\), tem-se \(-4=a(0-1)(0-4)=a\cdot 4\), logo \(a=-1\).
Assim \(g(x)=-x^2+5x-4\).

Valor absoluto com raiz \(2\):
Forma: \(f(x)=|x-2|\).
Observe que \(f(x)=|x-2|=|2-x|\), ambas descrevem a mesma curva com raiz em \(x=2\).