Como determinar os zeros positivos de uma função da forma \(f(x)=|A(x)|-|B(x)|\) usando intervalos definidos pelas raízes de \(A\) e \(B\)?

Resposta

Encontre as raízes de \(A\) e \(B\), divida a reta nesses intervalos, remova os módulos conforme os sinais em cada intervalo e resolva as equações; aceite apenas raízes positivas que pertençam ao intervalo correspondente.

Explicação:
1. Calcule \({\{x: A(x)=0\}}\) e \({\{x: B(x)=0\}}\), ordene esses pontos.
2. Em cada intervalo entre pontos críticos, determine o sinal de \(A(x)\) e de \(B(x)\), substitua \(|A(x)|\) por \(±A(x)\) e \(|B(x)|\) por \(±B(x)\).
3. Resolva a equação resultante \(f(x)=0\) em cada intervalo e mantenha apenas as soluções positivas que realmente pertençam ao intervalo.

exemplo:
Considere \(f(x)=|x^2-1|-|x^2-2|\). Pontos críticos: \(x=1\) e \(x=\sqrt2\).
Para \(10\) e \(x^2-2<0\), então \(f(x)=(x^2-1)-(-(x^2-2))=2x^2-3\).
Impondo \(2x^2-3=0\) dá \(x^2=\tfrac32\), \(x=\sqrt{\tfrac32}=\tfrac{\sqrt6}{2}\approx1{,}225\), que pertence ao intervalo, portanto é o zero positivo.