Como transformar \( |x-a|\le b \) e \( |x-c|\ge d \) em intervalos e obter a solução do sistema por interseção?

Resposta

\( |x-a|\le b\Rightarrow x\in[\;a-b,\;a+b\;]\), \( |x-c|\ge d\Rightarrow x\in(-\infty,\;c-d]\cup[c+d,\;\infty)\). A solução é a interseção desses conjuntos.

Explicação:
Transforme cada desigualdade modular em seu intervalo ou união de intervalos, depois tome a interseção dos conjuntos resultantes para obter os valores que satisfazem ambas as desigualdades.

Exemplo:
Considere \( |x|\le 3 \) e \( |x-1|\ge 2 \).
\( |x|\le 3\Rightarrow x\in[\,-3,3\,]\).
\( |x-1|\ge 2\Rightarrow x\in(-\infty,-1]\cup[3,\infty)\).
Interseção: \([\,-3,3\,]\cap\big((-\infty,-1]\cup[3,\infty)\big)=[\,-3,-1\,]\cup\{3\}\).
Assim, a solução é [-3,-1] ∪ {3}.