Como determinar \( \sin x \) a partir de um valor conhecido de \( \tan x \)?

Usar \( \tan^2 x=\dfrac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}\) e obter \( \sin^2 x=\dfrac{\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\), escolher o sinal conforme o quadrante.

Explicação:
Se \(t=\tan x\), então \(t^2=\dfrac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}\).
Multiplicando e isolando, \(t^2(1-\sin^2 x)=\sin^2 x\), portanto \(t^2=\sin^2 x(1+t^2)\).
Assim \( \sin^2 x=\dfrac{t^2}{1+t^2}\) e \(\sin x=\pm\sqrt{\dfrac{t^2}{1+t^2}}\,\), o sinal é determinado pelo quadrante ou por informações sobre \(\tan x\) e \(\cos x\).

Exemplo:
Se \(\tan x=\dfrac{3}{4}\), então \(t^2=\dfrac{9}{16}\).
\(\sin^2 x=\dfrac{9/16}{1+9/16}=\dfrac{9/16}{25/16}=\dfrac{9}{25}\).
Logo \(\sin x=\dfrac{3}{5}\), tomando o sinal positivo para \(x\) no primeiro quadrante.