Flashcard FC452045
Se uma matriz quadrada tem exatamente uma entrada não nula em cada linha e em cada coluna, quantas soluções o sistema \(A x=b\) possui para todo \(b\)?
Álgebra Linear Elementar
Instituto Verbena · 2024
Se uma matriz quadrada tem exatamente uma entrada não nula em cada linha e em cada coluna, quantas soluções o sistema \(A x=b\) possui para todo \(b\)?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Uma única solução.Como cada linha \(i\) tem apenas uma entrada não nula na coluna \(\sigma(i)\) com \(a_{i,\sigma(i)}\neq0\), e cada coluna tem exatamente uma entrada não nula, a aplicação \(\sigma\) é bijetiva, ou seja uma permutação das colunas.
As equações são \(a_{i,\sigma(i)}\,x_{\sigma(i)}=b_i\). Como \(a_{i,\sigma(i)}\neq0\), temos \(x_{\sigma(i)}=b_i/a_{i,\sigma(i)}\), determinando unicamente cada componente de \(x\). Portanto \(A\) é invertível e \(Ax=b\) tem solução única.
Exemplo:
\(A=\begin{pmatrix}0&5&0\\[4pt]0&0&2\\[4pt]3&0&0\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}10\\[4pt]4\\[4pt]9\end{pmatrix}.\)
As equações são \(5x_2=10,\;2x_3=4,\;3x_1=9\). Assim \(x_2=2,\;x_3=2,\;x_1=3\), logo \(x=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix}\), única solução.
⬇️ Assista à vídeoaula ⬇️ Aula sobre Matrizes e Problemas Matriciais
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/450777
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em