Se k colunas de uma matriz são multiplicadas por x, como o determinante depende de x?

O determinante escala por \(x^{k}\), onde \(k\) é o número de colunas multiplicadas por \(x\).

Explicação:
Fatorando \(x\) de cada uma das \(k\) colunas, obtém-se \(\det(A(x))=x^{k}\det(B)\), com \(B\) independente de \(x\).
Assim, se \(k\) é par a função em \(x\) é par, se \(k\) é ímpar a função é ímpar.

exemplo:
Considere \(A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & 0\\[4pt]2 & 0 & x\\[4pt]0 & 2x & x\end{pmatrix}\). Aqui \(C_2=x\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\) e \(C_3=x\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\), então
\(\det A(x)=x^{2}\det\begin{pmatrix}1&1&0\\[4pt]2&0&1\\[4pt]0&2&1\end{pmatrix}\).
Calculando,\(\det\begin{pmatrix}1&1&0\\[4pt]2&0&1\\[4pt]0&2&1\end{pmatrix}=1\cdot(0\cdot1-1\cdot2)-1\cdot(2\cdot1-1\cdot0)=-2-2=-4\).
Logo \(\det A(x)=-4x^{2}\), e portanto \(\det A(-x)=\det A(x)\).