Flashcard FC452049
Qual é o determinante de uma matriz triangular em função dos elementos da diagonal?
Álgebra Linear Elementar
Instituto Verbena · 2023
Qual é o determinante de uma matriz triangular em função dos elementos da diagonal?
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Resposta
O determinante é o produto dos elementos da diagonal.Explicação:
Seja \(T\) uma matriz triangular \(n\times n\) com entradas diagonais \(t_{11},\dots,t_{nn}\), então \(\det T=\prod_{i=1}^n t_{ii}\).
Poderes de uma matriz triangular permanecem triangulares, portanto a soma de potências também é triangular e o determinante da soma é o produto das entradas da diagonal dessa soma.
Exemplo:
Considere \(T=\begin{bmatrix}2&1&0\\[4pt]0&3&2\\[4pt]0&0&4\end{bmatrix}\).
Para \(k\ge1\), \(T^k\) tem diagonal \((2^k,3^k,4^k)\).
Tomando \(S=\sum_{k=1}^{3}T^k\), a diagonal de \(S\) é \(\big(\sum_{k=1}^3 2^k,\sum_{k=1}^3 3^k,\sum_{k=1}^3 4^k\big)=(14,39,84)\).
Logo \(\det S=14\cdot39\cdot84=45864\).
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