Como usar combinações lineares de equações para eliminar variáveis em um sistema linear?

Formando combinações lineares que anulem os coeficientes indesejados.

Explicação:
Para eliminar variáveis, soma-se ou subtrai-se equações multiplicadas por constantes de modo que os coeficientes das variáveis a eliminar se tornem zero, sobrando uma equação em apenas uma incógnita.

Exemplo:
Considere o sistema
\(3x+2y+z=12\)
\(2x+y+2z=11\)
\(x+y+3z=10\)
Faça a combinação \((3x+2y+z)-(2x+y+2z)-(x+y+3z)\), isto é
\((3-2-1)x+(2-1-1)y+(1-2-3)z=12-11-10\)
Como \(3-2-1=0\) e \(2-1-1=0\), sobra \(-4z=-9\), portanto \(z=\dfrac{9}{4}\).