Flashcard FC452059
O que garante que um sistema linear com matriz de coeficientes triangular tenha solução única?
Álgebra Linear Elementar
Instituto Verbena · 2024
O que garante que um sistema linear com matriz de coeficientes triangular tenha solução única?
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Resposta
Se o produto dos elementos da diagonal principal for diferente de zero, então o sistema tem única solução.Explicação:
A matriz triangular tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal, \( \det(A)=\prod_i a_{ii}\).
Se \( \prod_i a_{ii}\neq0\) então \(A\) é invertível e o sistema \(Ax=b\) admite solução única, pode-se obter por substituição direta ou retro-substituição.
exemplo:
Considere o sistema com matriz superior triangular:
\(3x+4y+2z=7\)
\(0x+5y+z=3\)
\(0x+0y+2z=4\)
Determinante \(=3\cdot5\cdot2=30\neq0\), portanto única solução.
Resolver por substituição: \(2z=4\Rightarrow z=2\).
\(5y+z=3\Rightarrow 5y+2=3\Rightarrow y=\tfrac{1}{5}\).
\(3x+4y+2z=7\Rightarrow 3x+4\cdot\tfrac{1}{5}+4=7\Rightarrow 3x=\tfrac{11}{5}\Rightarrow x=\tfrac{11}{15}\).
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