O que estabelece o Teorema de Rouché-Capelli sobre quando um sistema linear AX = B tem solução?

O sistema AX = B tem solução se, e somente se \(\rho(A)=\rho([A|B])\); se \(\rho(A)\neq\rho([A|B])\) o sistema é impossível.

Explicação: Pelo Teorema de Rouché-Capelli, igualdade dos postos garante que a coluna dos termos independentes pertence ao espaço das colunas de A, portanto existem soluções. Se \(\rho(A)<\rho([A|B])\), a ampliação introduz uma combinação linear incompatível, gerando uma equação contraditória, e o sistema não tem solução.

Exemplo:
Considere
\(A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3\\[4pt]7\end{pmatrix}\), então
\([A|B]=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]2 & 4 & 7\end{pmatrix}\).
Fazendo \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\) obtemos
\(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}\), que corresponde à equação \(0x+0y=1\), impossível. Aqui \(\rho(A)=1\) e \(\rho([A|B])=2\), logo o sistema não tem solução.