Flashcard FC452062
Qual condição sobre o determinante da matriz dos coeficientes garante que um sistema linear 2x2 tenha única solução?
Álgebra Linear Elementar
Instituto Verbena · 2024
Qual condição sobre o determinante da matriz dos coeficientes garante que um sistema linear 2x2 tenha única solução?
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Resposta
Determinante diferente de zero.Explicação:
Para um sistema 2x2 com matriz dos coeficientes \(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\), o determinante é \( \Delta = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\).
Se \( \Delta\neq0\), pelo teorema de Cramer o sistema possui única solução, se \( \Delta=0\) o sistema pode ter nenhuma ou infinitas soluções.
Exemplo:
Considere \( \begin{cases}2x+5y=7\\[4pt]-3x+4y=1\end{cases}\).
Cálculo do determinante, \( \Delta = 2\cdot4 - 5\cdot(-3) = 8+15 = 23 \neq 0\), logo existe única solução.
Usando Cramer, \( \Delta_x = 7\cdot4 - 5\cdot1 = 28-5 = 23\), \( \Delta_y = 2\cdot1 - 7\cdot(-3) = 2+21 = 23\).
Então \( x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta}=1\), \( y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta}=1\).
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