Qual a condição sobre o determinante da matriz dos coeficientes para que um sistema homogêneo \(Ax=0\) tenha solução não trivial?

det(A)=0.

Explicação: Se \(\det(A)=0\) a matriz é singular, as colunas são linearmente dependentes, e existe vetor não nulo \(x\) tal que \(Ax=0\). Se \(\det(A)\neq0\) a única solução é a trivial \(x=0\).

exemplo: Considere \(B=\begin{pmatrix}2&3\\[2pt]4&6\end{pmatrix}\).
\( \det B=2\cdot6-3\cdot4=12-12=0\), logo há solução não trivial para \(2x+3y=0,\;4x+6y=0\).
Tomando \(y=t\), obtém-se \(x=-\tfrac{3}{2}t\), por exemplo para \(t=2\) uma solução não trivial é \((x,y)=(-3,2)\).