Flashcard FC452075
Se det(A)=0, o que deve ocorrer com os determinantes D_x, D_y e D_z para que o sistema seja compatível?
Álgebra Linear Elementar
Instituto Verbena · 2024
Se det(A)=0, o que deve ocorrer com os determinantes D_x, D_y e D_z para que o sistema seja compatível?
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Resposta
Devem ser todos nulos: \(D_x=D_y=D_z=0\).Explicação:
Quando \(\det(A)=0\) a matriz de coeficientes é singular, o vetor dos termos independentes precisa estar no espaço gerado pelas colunas de A, isso corresponde a todos os determinantes obtidos ao substituir cada coluna por esse vetor serem zero.
Exemplo:
Considere \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{pmatrix}\), note que \(\det(A)=0\).
Se escolhermos \(b=\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}\), que é \(2\) vezes a 1ª coluna de A, então
\(D_x=\det\begin{pmatrix}2&2&3\\4&4&6\\0&1&1\end{pmatrix}=0\), e da mesma forma \(D_y=0\), \(D_z=0\), logo o sistema é compatível (infinitas soluções).
Se escolhermos \(b=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), então
\(D_x=\det\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&6\\0&1&1\end{pmatrix}=-2\neq0\), o sistema fica incompatível.
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