Flashcard FC452076
Quando um sistema linear homogêneo admite soluções não triviais?
Álgebra Linear Elementar
Instituto Verbena · 2024
Quando um sistema linear homogêneo admite soluções não triviais?
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Resposta
Quando a matriz dos coeficientes é singular, isto é, seu determinante é zero (posto menor que o número de incógnitas).Explicação e exemplo:
Para um sistema homogêneo \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\), se \(\det(A)=0\) então as equações são linearmente dependentes e existem infinitas soluções não triviais.
Exemplo: Considere o sistema
\(x+2y=0\)
\(2x+4y=0\)
A matriz dos coeficientes é \(\begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{bmatrix}\). Calculando o determinante, \(\det=1\cdot4-2\cdot2=0\).
Como as equações são proporcionais, a solução geral é \(\;x=-2t,\;y=t,\;t\in\mathbb{R}\), portanto existem infinitas soluções não triviais.
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