Como se obtêm as partes real e imaginária ao elevar um número complexo \(a+bi\) ao quadrado?

Calcule \( (a+bi)^2=(a^2-b^2)+2ab\,i\).

Explicação:
Expanda usando \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\), com \(x=a\) e \(y=bi\).
Como \((bi)^2=b^2i^2=-b^2\), a parte real é \(a^2-b^2\) e a parte imaginária é \(2ab\).

exemplo:
\( (2-i)^2 = 2^2 + 2\cdot2\cdot(-1)\,i + (-1)^2i^2 = 4 -4i -1 = 3 -4i\).
Portanto, parte real \(=3\), parte imaginária \(=-4\).