Flashcard FC452087
Para \(z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\), qual condição sobre \(n\) garante que \(z^n\) seja real?
Números Complexos
Instituto Verbena · 2025
Para \(z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\), qual condição sobre \(n\) garante que \(z^n\) seja real?
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Resposta
\(\sin(n\theta)=0\), ou seja \(n\theta=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.\)Explicação:
Como \(z^n=\rho^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\), a parte imaginária é \(\rho^n\sin n\theta\), que deve ser zero, logo \(\sin n\theta=0\) e \(n\theta=k\pi\).
Exemplo:
Se \(z=1+i\sqrt{3}=2\big(\cos\tfrac{\pi}{3}+i\sin\tfrac{\pi}{3}\big)\), então \(\sin\big(\tfrac{n\pi}{3}\big)=0\) implica \(\tfrac{n\pi}{3}=k\pi\), logo \(n=3k\).
Para \(n=3\): \(z^3=2^3(\cos\pi+i\sin\pi)=8(-1)=-8\), que é real.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/450819
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