Qual é o produto de \(a+bi\) pelo seu conjugado \(a-bi\) e por que isso facilita somar frações com denominadores complexos?

\((a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\), que é real, portanto facilita tornar o denominador real ao somar frações.

Explicação:
O conjugado de \(a+bi\) é \(a-bi\).
Multiplicando, obtém-se \( (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\), um número real, isso permite eliminar a parte imaginária do denominador ao usar denominador comum.

Exemplo:
Calcule \( \dfrac{1}{2+3i}+\dfrac{1}{2-3i}\).
Use o denominador comum \((2+3i)(2-3i)=2^2+3^2=13\).
Numeradores: \(2-3i+2+3i=4\).
Resultado: \( \dfrac{4}{13}\).