Qual é a soma \(S_n=i+i^2+\dots+i^n\) em função de \(n\), considerando a periodicidade de período 4 de \(i\)?

Divida \(n\) por 4: escreva \(n=4q+r\) com \(r\in\{0,1,2,3\}\).
Então \(S_n=\begin{cases}0,&r=0,\\[4pt]i,&r=1,\\[4pt]i-1,&r=2,\\[4pt]-1,&r=3.\end{cases}

Explicação curta, cada bloco de quatro potências \(i,i^2,i^3,i^4\) soma zero, portanto só os \(r\) primeiros termos do último bloco contribuem.
Exemplo: para \(n=7\) tem \(7=4\cdot1+3\), assim
exemplo: \(S_7=i+i^2+\dots+i^7=(i+i^2+i^3+i^4)+ (i+i^2+i^3)=0+(i+(-1)+(-i))=-1\).