Como se calcula a soma finita \(S=\sum_{n=1}^{N} x^n\) para \(x\) complexo e como escrever o resultado na forma \(a+bi\)?

Use a fórmula \(S=\dfrac{x(1-x^{N})}{1-x}\), calcule \(x^{N}\) e, se necessário, racionalize o denominador multiplicando pelo conjugado para obter a+bi.

Para aplicar, siga os passos: calcular \(x^{N}\) usando as propriedades do número complexo, substituir na fórmula \(S=\dfrac{x(1-x^{N})}{1-x}\), e transformar a divisão por número complexo em forma \(a+bi\) multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de \(1-x\).

exemplo:
Se \(x=1+i\) e \(N=4\):
\(x^{2}=(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i\),
\(x^{4}=(x^{2})^{2}=(2i)^{2}=4i^{2}=-4\).
Usando a fórmula, \(S=\dfrac{x(1-x^{4})}{1-x}=\dfrac{(1+i)(1-(-4))}{1-(1+i)}=\dfrac{(1+i)\cdot 5}{-i}.\)
Dividindo por \(i\), \(\dfrac{1+i}{i}=1-i\), então \(S=-5(1-i)=-5+5i\).