Flashcard FC452113
Como se calcula z^n usando a forma polar e o Teorema de De Moivre?
Números Complexos
Instituto Verbena · 2023
Como se calcula z^n usando a forma polar e o Teorema de De Moivre?
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Resposta
Use \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) e aplique \(z^n=r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\).Se \(z=a+ib\), calcule \(r=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\theta=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)\), ajuste o quadrante quando necessário, escreva \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) e então eleve: \(z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\).
exemplo:
Calcular \(z^4\) para \(z=-1+i\).
\(r=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}\).
\(\theta=\arctan\!\left(\frac{1}{-1}\right)\), ajustando o quadrante, \(\theta=\tfrac{3\pi}{4}\).
\(z=\sqrt{2}\left(\cos\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\tfrac{3\pi}{4}\right)\).
\(z^4=(\sqrt{2})^4\left(\cos(4\cdot\tfrac{3\pi}{4})+i\sin(4\cdot\tfrac{3\pi}{4})\right)=4\left(\cos 3\pi+i\sin 3\pi\right)=4(-1)=-4.\)
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/450845
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