Flashcard FC452126
Como usar semelhança de triângulos e a condição de áreas iguais para determinar um segmento da base cortado por uma perpendicular que divide a área do triângulo ao meio?
Geometria Plana
Instituto Verbena · 2024
Como usar semelhança de triângulos e a condição de áreas iguais para determinar um segmento da base cortado por uma perpendicular que divide a área do triângulo ao meio?
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Resposta
Usa-se a área para obter \(xy=\)área total, e a semelhança para obter \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{AD}{DB}\); resolve-se o sistema para \(x\).
Explicação:
Seja \(T\) a área total do triângulo, \(AE=x\) e \(EF=y\). Metade da área implica \(\dfrac{xy}{2}=\dfrac{T}{2}\), portanto \(xy=T\).
Os triângulos formados são semelhantes, logo \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{AD}{DB}\). Daí \(y=\dfrac{DB}{AD}x\). Substituindo em \(xy=T\) obtém-se \(\dfrac{DB}{AD}x^2=T\), assim \(x^2=\dfrac{AD}{DB}\,T\) e \(x=\sqrt{\dfrac{AD}{DB}\,T}\).
Exemplo:
Considere \(AC=30\) e altura \(H=16\), então \(T=\dfrac{30\cdot16}{2}=240\). Suponha \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{4}{3}\).
Da semelhança, \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow y=\dfrac{3}{4}x\). Em \(xy=T\): \(x\cdot\dfrac{3}{4}x=240\Rightarrow \dfrac{3}{4}x^2=240\Rightarrow x^2=320\).
Portanto \(x=\sqrt{320}=8\sqrt{5}\).
⬇️ Assista à vídeoaula ⬇️ Aula sobre Geometria Plana: Relação entre Triângulos
Veja como foi cobrado:
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