Flashcard FC452140
Como montar equações com tangente em dois ângulos de elevação observados em posições distintas para determinar a altura de um objeto vertical?
Geometria Plana
Instituto Verbena · 2023
Como montar equações com tangente em dois ângulos de elevação observados em posições distintas para determinar a altura de um objeto vertical?
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Resposta
Usar \(\tan\theta=\dfrac{h}{\text{adj}}\) em cada posição, obter duas equações e eliminar a distância por substituição para achar \(h\).Para dois pontos separados por uma distância \(L\), seja \(d\) a distância horizontal do ponto mais próximo até a base do objeto, e \(\alpha,\beta\) os ângulos de elevação do ponto mais distante e do mais próximo, respectivamente.
Formam-se as equações \( \tan\alpha=\dfrac{h}{d+L}\) e \( \tan\beta=\dfrac{h}{d}\).
Da segunda, \(h=d\tan\beta\). Substituindo na primeira, \( \tan\alpha(d+L)=d\tan\beta\), então
\(d(\tan\beta-\tan\alpha)=L\tan\alpha\), e
\(d=\dfrac{L\tan\alpha}{\tan\beta-\tan\alpha}\), finalmente \(h=d\tan\beta\).
exemplo: suponha \(\alpha=45^\circ\), \(\beta=60^\circ\), \(L=10\) m.
\(\tan45^\circ=1,\ \tan60^\circ=\sqrt3\).
\(d=\dfrac{10\cdot1}{\sqrt3-1}=\dfrac{10(\sqrt3+1)}{2}=5(\sqrt3+1)\) m.
\(h=d\tan60^\circ=5(\sqrt3+1)\sqrt3=5(3+\sqrt3)=15+5\sqrt3\) m.
⬇️ Assista à vídeoaula ⬇️ Aula sobre Geometria Plana: Relação entre Triângulos
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