Como calcular a área de um triângulo retângulo quando os catetos satisfazem B = kA e a hipotenusa tem comprimento c?

Use o Teorema de Pitágoras para achar \(A\) e calcule a área: \(A^2(1+k^2)=c^2\), então \(A^2=\dfrac{c^2}{1+k^2}\) e área \(=\dfrac{k\,c^2}{2(1+k^2)}\).

Explicação:
Aplicando Pitágoras, \(A^2+B^2=c^2\), com \(B=kA\) fica \(A^2+(kA)^2=c^2\), ou \(A^2(1+k^2)=c^2\).
Daí \(A^2=\dfrac{c^2}{1+k^2}\) e como área \(=\dfrac{A\cdot B}{2}=\dfrac{A\cdot kA}{2}=\dfrac{kA^2}{2}\), substituímos \(A^2\).

Exemplo:
Se \(k=3\) e \(c=10\):
\(A^2=\dfrac{10^2}{1+3^2}=\dfrac{100}{10}=10\), então \(A=\sqrt{10}\), \(B=3\sqrt{10}\).
Área \(=\dfrac{k\,c^2}{2(1+k^2)}=\dfrac{3\cdot100}{2(10)}=\dfrac{300}{20}=15\).