Se os catetos de um triângulo retângulo são multiplicados por um fator k, por quantas vezes a hipotenusa é multiplicada?

Por k vezes.

Se os catetos originais têm comprimentos \(a\) e \(b\), a hipotenusa é \( \sqrt{a^2+b^2} \). Multiplicando os catetos por \(k\), a nova hipotenusa é \( \sqrt{(ka)^2+(kb)^2}=\sqrt{k^2(a^2+b^2)}=k\sqrt{a^2+b^2} \), portanto a hipotenusa fica multiplicada por \(k\).

exemplo:
Catetos 5 e 12, então \(c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\).
Multiplicando por \(k=3\), catetos 15 e 36, nova hipotenusa \(c'=\sqrt{15^2+36^2}=\sqrt{225+1296}=\sqrt{1521}=39\), que é \(13\cdot3\).