Como, a partir das áreas dos quatro sub-retângulos, obtemos as proporções entre as larguras e entre as alturas para escrever \(W=a+b\) e \(H=c+d\)?

Use as áreas da mesma linha para obter \(a/b\) e as da mesma coluna para obter \(c/d\), então introduza parâmetros escalares, elimine-os usando as igualdades das áreas e expresse \(W\) e \(H\) em função das áreas (ou de \(x\)).

Exemplo:
Suponha as áreas: \(A_{11}=ac=x,\;A_{12}=bc=6,\;A_{21}=ad=4,\;A_{22}=bd=\dfrac{24}{x}\) (consistência: \(A_{11}A_{22}=A_{12}A_{21}\)).
Das divisões por mesma linha e coluna temos
\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{x}{6},\qquad \frac{c}{d}=\frac{x}{4}.\)
Escolhendo parâmetros \(k,m\) tais que \(a=kx,\;b=6k,\;c=mx,\;d=4m\), da igualdade \(ac=x\) vem
\(\displaystyle (kx)(mx)=x\Rightarrow km=\frac{1}{x}.\)
Então
\(\displaystyle W=a+b=k(x+6),\qquad H=c+d=m(x+4).\)
Multiplicando e eliminando \(km\) obtém‑se
\(\displaystyle W\cdot H=\frac{(x+6)(x+4)}{x},\)