Num retângulo com lados A (maior) e x (menor), se (semi-perímetro)/(maior) = (maior)/(menor), qual equação que relaciona A e x?

x satisfaz \(x^{2}+Ax-A^{2}=0\), e a raiz positiva é \(x=\dfrac{A(\sqrt5-1)}{2}\).

Desenvolvimento,
O semi-perímetro é \(A+x\). A condição é \(\dfrac{A+x}{A}=\dfrac{A}{x}\). Multiplicando por \(Ax\) obtém-se \(x(A+x)=A^{2}\), ou \(x^{2}+Ax-A^{2}=0\). Pela fórmula de Bhaskara, a solução positiva é \(x=\dfrac{-A+\sqrt{A^{2}+4A^{2}}}{2}=\dfrac{A(\sqrt5-1)}{2}\).

Exemplo: Seja \(A=2\). Então \(x^{2}+2x-4=0\), logo \(x=\dfrac{-2+\sqrt{4+16}}{2}=\dfrac{-2+\sqrt{20}}{2}=\sqrt5-1\). Portanto o menor lado vale \(\sqrt5-1\).