Flashcard FC452188
√2 é racional ou irracional?
Geometria Plana
Instituto Verbena · 2024
√2 é racional ou irracional?
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Resposta
Irracional.Prova por contradição: suponha \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) em forma irredutível.
Então \(2=\frac{p^2}{q^2}\), logo \(p^2=2q^2\). Assim \(p^2\) é par, então \(p\) é par, escrevendo \(p=2k\) obtemos \(4k^2=2q^2\) e \(q^2=2k^2\), portanto \(q\) também é par, contradizendo a irredução. Logo \(\sqrt{2}\) é irracional.
Exemplo: num quadrado de lado 3, a diagonal mede \(3\sqrt{2}\).
Se \(3\sqrt{2}\) fosse racional, teríamos \(\sqrt{2}=\dfrac{\text{racional}}{3}\), o que contradiz a prova acima, portanto \(3\sqrt{2}\) é irracional.
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Veja como foi cobrado:
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