Como obter uma equação linear relacionando a base b e a altura h de um retângulo a partir do seu perímetro?

Use a fórmula do perímetro: \(P=2(b+h)\), logo \(b+h=\tfrac{P}{2}\).

Explicação:
A fórmula do perímetro de um retângulo é \(P=2(b+h)\), portanto uma informação sobre o perímetro fornece a equação linear \(b+h=\tfrac{P}{2}\).
Se houver outro retângulo com dimensões proporcionais, escreva sua equação de perímetro em termos de \(b\) e \(h\), forme um sistema linear, resolva para \(b\) e \(h\) e calcule a área como \(A=b\cdot h\).

Exemplo:
Suponha um retângulo maior com perímetro \(P=100\), então
\(b+h=\tfrac{100}{2}=50\).
Um retângulo interno tem base \(\tfrac{b}{2}\), altura \(\tfrac{h}{4}\) e perímetro \(40\), então
\(2\!\left(\tfrac{b}{2}+\tfrac{h}{4}\right)=40\), isto é \(b+\tfrac{h}{2}=40\).
Substituindo \(h=50-b\) em \(b+\tfrac{h}{2}=40\):
\(b+\dfrac{50-b}{2}=40\Rightarrow \dfrac{b+50}{2}=40\Rightarrow b+50=80\Rightarrow b=30\).
Então \(h=50-30=20\) e a área é \(A=b\cdot h=30\cdot20=600\).