Se o lado do quadradinho do papel é multiplicado por k, como varia o perímetro de um polígono desenhado sobre esse quadriculado?

Multiplica por k.

Explicação, se o lado do quadradinho passa de 1 para k, cada segmento que corresponde a um lado do quadradinho cresce por k, e cada diagonal também cresce por k porque a diagonal vale lado·\(\sqrt2\). Assim o perímetro total é multiplicado por k.

Exemplo:
\(P_0=4\cdot1+2\cdot\sqrt2=4+2\sqrt2\)
Se \(k=3\), o novo lado é 3 e a nova diagonal é \(3\sqrt2\), logo
\(P_n=4\cdot3+2\cdot(3\sqrt2)=12+6\sqrt2=3(4+2\sqrt2)=3P_0\).