Se dois polígonos regulares são semelhantes e a razão entre seus lados é \(k\), qual a razão entre suas áreas?

k^2

Para lados \(s\) e \(ks\), as áreas são proporcionais ao quadrado dos lados, assim \(\dfrac{A_{2}}{A_{1}}=\dfrac{(ks)^2}{s^2}=k^2\).

exemplo:
Considere dois quadrados semelhantes, um com lado \(2\) e outro com lado \(5\).
Razão dos lados \(k=\dfrac{5}{2}\).
Razão das áreas \(k^2=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{25}{4}\).
Verificação: \(A_1=2^2=4\), \(A_2=5^2=25\), logo \(\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{25}{4}\).