Flashcard FC452230
Se seis círculos congruentes são tangentes formando um anel ao redor do mesmo centro, qual a relação entre o raio R do círculo maior que os envolve e o raio r dos pequenos?
Geometria Plana
Instituto Verbena · 2024
Se seis círculos congruentes são tangentes formando um anel ao redor do mesmo centro, qual a relação entre o raio R do círculo maior que os envolve e o raio r dos pequenos?
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Resposta
R = 3r.Explicação:
Os centros dos seis círculos formam um hexágono regular, a distância entre centros adjacentes é \(2r\), em um hexágono regular a distância do centro até um vértice é igual ao lado, logo a distância do centro comum até cada centro é \(2r\).
O raio do círculo maior é essa distância mais o raio do pequeno, portanto \(R=2r+r=3r\).
Exemplo:
Se \(r=2\ \text{cm}\), então \(R=3\cdot2=6\ \text{cm}\).
\(A_M=\pi R^2=\pi\cdot6^2=36\pi\).
\(6\) pequenos: \(6\pi r^2=6\pi\cdot2^2=24\pi\).
Área sombreada: \(A_s=36\pi-24\pi=12\pi\).
Fração sombreada: \(A_s/A_M=12\pi/36\pi=1/3\).
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