Flashcard FC452235
Se os raios formam uma progressão geométrica com termo inicial a1 e razão q, como expressar a área do n-ésimo círculo em função de a1, q e n?
Geometria Plana
Instituto Verbena · 2023
Se os raios formam uma progressão geométrica com termo inicial a1 e razão q, como expressar a área do n-ésimo círculo em função de a1, q e n?
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Resposta
\(A_n=\pi a_1^2 q^{2(n-1)}\)Explicação:
O raio do n-ésimo termo é \(r_n=a_1 q^{\,n-1}\), a área é \(A_n=\pi r_n^2\), substituindo resulta em \(A_n=\pi\big(a_1 q^{\,n-1}\big)^2=\pi a_1^2 q^{2(n-1)}\).
Exemplo:
Se \(a_1=6\), \(q=\tfrac{1}{3}\) e \(n=4\):
\(r_4=6\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3}=6\cdot\tfrac{1}{27}=\tfrac{2}{9}\)
\(A_4=\pi\left(\tfrac{2}{9}\right)^2=\pi\cdot\tfrac{4}{81}=\tfrac{4\pi}{81}\)
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