Flashcard FC452261
Dada a relação \(V_{cubo}=k\cdot V_{tetra}\), como montar a equação para encontrar a aresta \(L\) do tetraedro regular em função do lado \(a\) do cubo e do fator \(k\)?
Geometria Espacial
Instituto Verbena · 2024
Dada a relação \(V_{cubo}=k\cdot V_{tetra}\), como montar a equação para encontrar a aresta \(L\) do tetraedro regular em função do lado \(a\) do cubo e do fator \(k\)?
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Resposta
Equação: \(a^3 = k\cdot\dfrac{L^3\sqrt2}{12}\), portanto \(L=\sqrt[3]{\dfrac{12a^3}{k\sqrt2}}\).Explicação e exemplo:
Partindo da fórmula do volume do cubo \(V_{cubo}=a^3\) e do tetraedro regular \(V_{tetra}=\dfrac{L^3\sqrt2}{12}\), iguale conforme o fator \(k\):
\(a^3 = k\cdot\dfrac{L^3\sqrt2}{12}\).
Isolando \(L^3\): \(L^3=\dfrac{12a^3}{k\sqrt2}\), e então \(L=\sqrt[3]{\dfrac{12a^3}{k\sqrt2}}\).
Exemplo:
Se \(a=1\) e \(k=3\):
\(1^3=3\cdot\dfrac{L^3\sqrt2}{12}\Rightarrow 1=\dfrac{L^3\sqrt2}{4}\).
Multiplicando, \(L^3=4/\sqrt2=2\sqrt2\).
Logo \(L=\sqrt[3]{2\sqrt2}=\sqrt{2}\approx1{,}414\).
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Veja como foi cobrado:
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