Qual a fórmula do volume de um tetraedro formado pela origem e pelos pontos onde um plano intercepta os eixos coordenados em a, b e c?

V = \(\dfrac{abc}{6}\).

Considere o tetraedro descrito por \(x,y,z\ge 0\) e \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\le 1\). Integrando, obtém-se

\(V=\displaystyle\int_{0}^{a}\int_{0}^{b(1-x/a)}\int_{0}^{c(1-x/a-y/b)}dz\,dy\,dx=\dfrac{abc}{6}.\)

Exemplo: se os interceptos forem \(a=2\), \(b=3\), \(c=6\), então

\(V=\dfrac{2\cdot 3\cdot 6}{6}=6\).