Flashcard FC452319
Como obter as coordenadas dos pontos de interseção entre a reta y = m x e a elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1?
Geometria Analítica
Instituto Verbena · 2024
Como obter as coordenadas dos pontos de interseção entre a reta y = m x e a elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Substituir y=mx na elipse, resolver para x e então calcular y=mx.Substitua \(y=mx\) em \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), obtendo \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{m^2x^2}{b^2}=1\).
Então \(x^2\!\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{m^2}{b^2}\right)=1\), logo \(x^2=\dfrac{a^2b^2}{\,b^2+m^2a^2\,}\) e assim \(x=\pm\dfrac{ab}{\sqrt{b^2+m^2a^2}}\).
Por fim \(y=mx=\pm\dfrac{mab}{\sqrt{b^2+m^2a^2}}\).
Exemplo:
Se \(a=2\), \(b=1\), \(m=1\) (reta \(y=x\)), então
\( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{m^2}{b^2}=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}\),
\(x^2=\dfrac{a^2b^2}{b^2+m^2a^2}=\dfrac{4\cdot1}{1+4}=\dfrac{4}{5}\), então \(x=\pm\dfrac{2}{\sqrt{5}}\),
e \(y=x=\pm\dfrac{2}{\sqrt{5}}\), pontos de interseção \( \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)\) e \(\left(\dfrac{-2}{\sqrt{5}},\dfrac{-2}{\sqrt{5}}\right)\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/451051
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em