Como se determina o argumento de z^k quando z = cis(θ) e como saber se z^k está no primeiro quadrante?

Resposta

O argumento de z^k é \(k\theta\) (mod \(2\pi\)); z^k está no primeiro quadrante se \(k\theta\equiv\alpha\) com \(0<\alpha<\tfrac{\pi}{2}\) (mod \(2\pi\)).

Explicação:
Se \(z=\cos\theta+i\sin\theta=\) cis\(\theta\), então \(z^k=\) cis\((k\theta)=\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)\).
As coordenadas são positivas quando o argumento reduzido módulo \(2\pi\) satisfaz \(0Logo é preciso resolver a congruência angular \(k\theta\equiv\alpha\) com \(0<\alpha<\tfrac{\pi}{2}\) (mod \(2\pi\)).

exemplo:
Considere \(z=\) cis\(\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}+i\sin\tfrac{\pi}{4}\).
Então \(z^k=\) cis\(\tfrac{k\pi}{4}=\cos\tfrac{k\pi}{4}+i\sin\tfrac{k\pi}{4}\).\
Para \(k=0,\dots,7\) os argumentos são \(0,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\pi,\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{7\pi}{4}\).
Só \(\tfrac{\pi}{4}\) está em \((0,\tfrac{\pi}{2})\), logo entre esses índices apenas \(k=1\) (e, por equivalência modular, todos \(k\equiv1\pmod{8}\)) dão ponto no primeiro quadrante.