Como determinar os pontos de interseção entre uma reta e uma circunferência no plano?

Substituindo a equação da reta na da circunferência e resolvendo a quadrática, obtém-se 0, 1 ou 2 pontos.

Explicação:
Seja a reta \(y=mx+b\) e a circunferência \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\). Substitua \(y\) na equação da circunferência e reduza para uma equação quadrática em \(x\), \(ax^2+bx+c=0\). O discriminante \(\Delta=b^2-4ac\) determina o número de interseções: se \(\Delta>0\) há 2 pontos, se \(\Delta=0\) há 1 ponto (tangência), se \(\Delta<0\) não há interseção.

Exemplo:
Considere \((x-1)^2+(y-2)^2=9\) e \(y=2x-1\).
Substituindo: \((x-1)^2+(2x-3)^2=9\)
\(x^2-2x+1+4x^2-12x+9=9\)
\(5x^2-14x+1=0\)
\(\Delta=(-14)^2-4\cdot5\cdot1=176>0\), portanto existem 2 pontos de interseção.
As raízes são \(x=\frac{14\pm\sqrt{176}}{10}\), e \(y=2x-1\), resultando aproximadamente em \((2.7266,4.4532)\) e \((0.0734,-0.8532)\).