Flashcard FC452334
Se f'(x)=\sinh x, como simplificar \(\sqrt{1+f'(x)^2}\) e por que escolher o sinal positivo?
Matemática Avançada (Ensino Superior)
Instituto Verbena · 2024
Se f'(x)=\sinh x, como simplificar \(\sqrt{1+f'(x)^2}\) e por que escolher o sinal positivo?
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Resposta
\(\sqrt{1+f'(x)^2}=\cosh x\), escolher o sinal positivo porque \(\cosh x>0\).Usar a identidade hiperbólica \(\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\), então \(1+\sinh^2 x=\cosh^2 x\), e \(\sqrt{\cosh^2 x}=|\cosh x|=\cosh x\) já que \(\cosh x>0\).
Assim a integral do comprimento com integrando \(\sqrt{1+f'(x)^2}\) vira uma integral de \(\cosh x\), cuja primitiva é \(\sinh x\).
exemplo:
Considere \(f'(x)=\sinh(2x)\) em \([0,\ln 2]\).
Temos \(\sqrt{1+\sinh^2(2x)}=\cosh(2x)\), e o comprimento é
\(\displaystyle \int_{0}^{\ln 2}\cosh(2x)\,dx=\left.\tfrac{1}{2}\sinh(2x)\right|_{0}^{\ln 2}=\tfrac{1}{2}\sinh(2\ln 2)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4-\tfrac{1}{4}}{2}=\tfrac{15}{16}.\)
Veja como foi cobrado:
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