Como calcular f'(x) quando f(x)=e^x·(u(x)/v(x))?

Use a regra do produto e a do quociente:
\(f'(x)=e^x\frac{u(x)}{v(x)}+e^x\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=e^x\!\left(\frac{u}{v}+\frac{u'v-uv'}{v^2}\right).\)

Explicação e exemplo:
Aplique primeiro a regra do produto a \(e^x\) e \(g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\), depois, para \(g'(x)\), use a regra do quociente, com \(u\) e \(v\) e suas derivadas.

Exemplo:
Se \(f(x)=e^x\displaystyle\frac{\sin x+1}{x+2}\), então \(u=\sin x+1,\ v=x+2,\ u'=\cos x,\ v'=1\).
\(g'(x)=\dfrac{\cos x\,(x+2)-(\sin x+1)\cdot1}{(x+2)^2}\).
Logo \(f'(x)=e^x\!\left(\dfrac{\sin x+1}{x+2}+\dfrac{\cos x\,(x+2)-(\sin x+1)}{(x+2)^2}\right).\)
Avaliação em \(x=0\): \(\sin0=0,\ \cos0=1\), então \(g(0)=\tfrac{1}{2},\ g'(0)=\tfrac{1}{4}\), e
\(f'(0)=e^0\big(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}\big)=\tfrac{3}{4}.\)