Como aplicar a regra de Leibniz para derivar uma integral cujos limites dependem de x?

F'(x)=f(b(x))\,b'(x)-f(a(x))\,a'(x)

Explicação: Se \(F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt\), deriva-se pelos limites variáveis usando a Regra de Leibniz, aplicando a regra da cadeia aos limites, o termo superior aparece com sinal positivo e o inferior com sinal negativo.

Exemplo:
Considere \(H(x)=\int_{x}^{x^{2}} \sin(t^{2})\,dt\). Aqui \(a(x)=x\), \(b(x)=x^{2}\), \(a'(x)=1\), \(b'(x)=2x\).
Aplicando a regra: \(H'(x)=\sin((x^{2})^{2})\cdot 2x - \sin(x^{2})\cdot 1\).
Portanto \(H'(x)=2x\sin(x^{4})-\sin(x^{2})\).
Em \(x=1\) temos \(H'(1)=2\sin(1)-\sin(1)=\sin(1)\).