Como provar, usando coordenadas polares, que \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0\) quando \(f(r,\theta)=r\cdot h(\theta)\) com \(h(\theta)\) limitada?

Resposta

Se \(f(r,\theta)=r\cdot h(\theta)\) e existe \(M>0\) tal que \(|h(\theta)|\le M\) para todo \(\theta\), então \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\), porque \(r\to0\).

De fato, \(|f(r,\theta)|=r\cdot|h(\theta)|\le rM\), e como \(r\to0\) quando \((x,y)\to(0,0)\), segue que \(rM\to0\), portanto \(f\to0\).

Exemplo:
Considere \(g(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\) para \((x,y)\neq(0,0)\) e \(g(0,0)=0\). Em coordenadas polares, \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\), então

\(g(r,\theta)=\dfrac{(r\cos\theta)^2(r\sin\theta)}{r^2}=r\cos^2\theta\sin\theta.\)

Como \(|\cos^2\theta\sin\theta|\le 1\), tem-se \(|g(r,\theta)|\le r\), logo \(g(x,y)\to0\) quando \((x,y)\to(0,0)\).