Qual condição sobre s garante que a integral imprópria \(\int_0^\infty t\,e^{-s t}\,dt\) converge?

s>0

Explicação:
Para \(t\to\infty\) o termo exponencial controla o comportamento, se \(s>0\) então \(e^{-s t}\) decai exponencialmente e compensa o crescimento linear em \(t\), se \(s\le 0\) a integral diverge.
Para \(t\to0\) temos \(t\,e^{-s t}\sim t\), e \(\int_0^\varepsilon t\,dt\) é finita, logo não há singularidade na origem.
Cálculo para \(s>0\):
\(I(s)=\int_0^\infty t\,e^{-s t}\,dt=\left[-\frac{t\,e^{-s t}}{s}\right]_0^\infty+\frac{1}{s}\int_0^\infty e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.\)

Exemplo:
Para \(s=2\), \(\int_0^\infty t\,e^{-2t}\,dt=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}\).