Como se determina o núcleo de um operador linear definido por combinações de derivadas em P3(R)?

Resposta

Resolver a equação \(T(p)=0\) para \(p\in P_3(\mathbb{R})\), igualando os coeficientes do polinômio resultante a zero.

Explicação: Escreva \(p(t)=at^3+bt^2+ct+d\). Calcule as derivadas necessárias e forme \(T(p)\). Igualando \(T(p)\equiv0\) obtém-se um polinômio nulo, logo cada coeficiente de \(t^k\) deve ser zero, isso gera um sistema linear em \(a,b,c,d\). As soluções desse sistema descrevem \(\ker T\).

Exemplo: Seja \(S(p)=p'(t)-2p(t)\) em \(P_3(\mathbb{R})\).
Escreva \(p(t)=at^3+bt^2+ct+d\), então \(p'(t)=3at^2+2bt+c\).
Logo \(S(p)=3at^2+2bt+c-2(at^3+bt^2+ct+d)\).
Agrupando termos, \(S(p)=-2a\,t^3+(3a-2b)\,t^2+(2b-2c)\,t+(c-2d)\).
Impondo \(S(p)\equiv0\) temos o sistema \(\;-2a=0,\;3a-2b=0,\;2b-2c=0,\;c-2d=0\).\
Daí \(a=b=c=d=0\), portanto \(\ker S=\{0\}\).