Como se obtém a solução de y'+P(x)y=Q(x) usando o fator integrante?

Multiplica-se por μ(x)=e^{\int P(x)\,dx}, obtém-se (μy)'=μQ, integra-se e aplica-se a condição inicial.

Explicação:
1. Calcule μ(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
2. Multiplique a EDO por μ(x), assim o lado esquerdo fica a derivada do produto, (μy)'=μQ.
3. Integre: μ(x)y(x)=\int \mu(x)Q(x)\,dx + C, determine C com a condição inicial, isole y(x).

Exemplo: Resolva \(y'+2x\,y=2x\), com \(y(0)=3\).
\( \mu(x)=e^{\int 2x\,dx}=e^{x^2}\).
Multiplicando, \((e^{x^2}y)'=2x e^{x^2}\).
Integrando de 0 a x, \(e^{x^2}y-e^{0}y(0)=\int_0^x 2t e^{t^2}\,dt=e^{x^2}-1\).
Com \(y(0)=3\) vem \(e^{x^2}y=e^{x^2}+2\), logo \(y(x)=1+2e^{-x^2}\).