Flashcard FC452342
Qual é a condição de exatidão para a equação diferencial \(M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\)?
Matemática Avançada (Ensino Superior)
Instituto Verbena · 2024
Qual é a condição de exatidão para a equação diferencial \(M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\)?
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Resposta
\(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\).Explicação, calcule \(\partial M/\partial y\) e \(\partial N/\partial x\), se forem iguais em uma região, a forma é exata; se houver parâmetros, iguale as expressões e compare coeficientes para determinar os valores que garantem igualdade em todo (x,y).
Exemplo: Considere \(M(x,y)=a x^{2}y+y^{3}\) e \(N(x,y)=x^{3}+b x y^{2}\).
Calcule \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=a x^{2}+3y^{2}\) e \(\dfrac{\partial N}{\partial x}=3x^{2}+b y^{2}\).
Para exatidão precisamos \(a x^{2}+3y^{2}=3x^{2}+b y^{2}\) para todos \(x,y\), portanto comparando coeficientes vem \(a=3\) e \(b=3\).
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