Qual a forma geral das soluções de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem quando a equação característica possui uma raiz dupla \(r\)?

y(x)=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}

Explicação:
Se a equação característica tem raiz dupla \(r\) (multiplicidade 2), as soluções fundamentais são \(e^{rx}\) e \(xe^{rx}\), qualquer solução geral é combinação linear dessas duas funções.

Exemplo:
Considere \(y''-4y'+4y=0\). A equação característica é \(r^2-4r+4=0\), tem raiz dupla \(r=2\).
Logo a solução geral é \(y(x)=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}\).
Verificação rápida: para \(y=xe^{2x}\), \(y'=e^{2x}+2xe^{2x}\), \(y''=4e^{2x}+4xe^{2x}\), substituindo em \(y''-4y'+4y\) obtém-se zero, confirmando ser solução.